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正五角形の対角線がつくる角

📖 言葉で読む:多角形の内角の和 →
正五角形の対角線がつくる角全2問
ABCDE
① 考えてみよう

正五角形 ABCDE で、対角線 AC をひいたよ。△ABC にできる角 ∠BCA は何度になるか求めよう。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    正五角形 ABCDE で、対角線 AC をひいたよ。△ABC にできる角 ∠BCA は何度になるか求めよう。

  3. 2

    ∠BCA をいきなり出すのは難しいね。でも △ABC をよく見ると、正五角形ならではの「等しい辺」がかくれているよ。ひと呼吸おいて探してみよう。

  4. ② 考え方
  5. 3

    まず1つの内角から。五角形の内角の和は (5−2)×180°=540°。正五角形は5等分だから、1つは 540÷5 = 108°だね。

  6. 4

    △ABC に注目。辺 AB と BC は正五角形の辺だから長さが等しい。つまり二等辺三角形で、頂角 ∠B が 108°だよ。

  7. 5

    二等辺三角形は左右対称。折り返すと底辺の両はしの角がぴったり重なるよね。だから底角の ∠BCA と ∠BAC は等しいんだ(同じ色)。

  8. ③ 解答
  9. 6

    底角が等しいことを使うよ。残りの角は 180−108 = 72°。これを2等分して、∠BCA = ∠BAC = 36°!

  10. 7

    この 36°、実は正五角形の中にできる星(五芒星)の先端の角と同じ。「内角の和+二等辺」で、きれいな角が次々わかるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

五角形の内角の和は 180∘×(5−2)=540∘180^\circ \times (5 - 2) = 540^\circ である。

正五角形の内角はすべて等しいので ∠ABC=540∘÷5=108∘\angle ABC = 540^\circ \div 5 = 108^\circ

正五角形の辺はすべて等しいので BA=BCBA = BC で、△ABC\triangle ABC は二等辺三角形である。

二等辺三角形の底角は等しいので ∠BCA=∠BAC\angle BCA = \angle BAC

三角形の内角の和は 180∘180^\circ なので ∠BCA+∠BAC=180∘−108∘=72∘\angle BCA + \angle BAC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ

よって ∠BCA=72∘÷2=36∘\angle BCA = 72^\circ \div 2 = 36^\circ

答え ∠BCA=36∘\angle BCA = 36^\circ

減点されやすいポイント

「正五角形なので BA=BCBA = BC」の1行が、二等辺三角形だと言える根拠だよ。ここを書かずに底角を等しいとすると、理由が抜けてしまう。180∘−108∘=72∘180^\circ - 108^\circ = 72^\circ で止めて2等分を忘れたり、内角 108∘108^\circ を半分にして 54∘54^\circ にしたりするのが定番のまちがいだね。

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