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円錐の側面の最短経路

円錐の側面の最短経路全3問
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① 考えてみよう

母線6・底面の半径2の円錐だよ。側面をぐるっとはって、出発した点までもどる最短の道のりは何になるかな?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    母線6・底面の半径2の円錐だよ。側面をぐるっとはって、出発した点までもどる最短の道のりは何になるかな?

  3. 2

    曲面のままでは長さが測れないね。側面を母線にそって1本切って平らに開いたら、どんな形になるだろう?

  4. ② 考え方
  5. 3

    そこで、母線にそって側面を1本切り、平らに開いてみよう。すると側面は「おうぎ形」になる。半径は母線そのもので6だよ。

  6. 4

    おうぎ形の中心角は弧の長さの割合で決まったね。弧は底面の円周 2π×2=4π、半径6の円ぜんぶの円周は2π×6=12π。だから 4π/12π=13\frac{1}{3} で、角度は360°の 13\frac{1}{3} =120°。

  7. 5

    切ったところが両はしに分かれるから、出発点 A は左右2か所に現れる。平らな紙の上の最短は直線。A と A' をまっすぐ結ぼう。

  8. ③ 解答
  9. 6

    頂角120°・等辺6の二等辺三角形ができたね。頂点から垂線をおろすと30-60-90の直角三角形(辺の比 1:2:3\sqrt{3})に割れる。斜辺6だから半分の弦は 333\sqrt{3}、最短の弦は 636\sqrt{3} だよ。

  10. 7

    側面の最短は、開いておうぎ形にして弦を引くだけ。中心角は底面の円周と母線で決まる、がポイント。これが円錐の最短経路の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

円錐の頂点を OO、出発点を底面の円周上の点 AA とする。母線 OAOA で側面を切り開くと、半径 66 のおうぎ形になり、AA は切り口の両はしの2点に分かれる。この2点を AA、A′A' とする。

おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しいので 2π×2=4π2\pi \times 2 = 4\pi

半径 66 の円の円周は 2π×6=12π2\pi \times 6 = 12\pi なので、中心角は 360∘×4π12π=120∘360^\circ \times \frac{4\pi}{12\pi} = 120^\circ

中心角が 180∘180^\circ より小さいので、線分 AA′AA' はおうぎ形の中にある。展開図の上では2点を結ぶ線分が最短なので、最短経路の長さは AA′AA' である。

OO から AA′AA' に垂線 OMOM をひく。△OAA′\triangle OAA' は OA=OA′=6OA = OA' = 6 の二等辺三角形なので、MM は AA′AA' の中点で、∠AOM=60∘\angle AOM = 60^\circ

△OAM\triangle OAM は ∠OMA=90∘\angle OMA = 90^\circ、∠AOM=60∘\angle AOM = 60^\circ の直角三角形なので、OA:AM=2:3OA : AM = 2 : \sqrt{3} より

AM=6×32=33AM = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

よって AA′=2AM=63AA' = 2AM = 6\sqrt{3}

答え 636\sqrt{3}

減点されやすいポイント

展開図の点 A′A' は図に名前のない点なので、「切り開くと AA が2点に分かれる」と答案で決めてから使おう。中心角の 120∘120^\circ は、弧の長さが円周のどれだけかで出した理由まで書くといいよ。頂点を通って母線を行って帰る 6+6=126 + 6 = 12 や、底面のふちを1周する 4π4\pi は、どちらも 636\sqrt{3} より長い道だね。

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