円錐の側面の最短経路

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   母線6・底面の半径2の円錐だよ。側面をぐるっとはって、出発した点までもどる最短の道のりは何になるかな?

3. 2

   曲面のままでは長さが測れないね。側面を母線にそって1本切って平らに開いたら、どんな形になるだろう?

4. ② 考え方
5. 3

   そこで、母線にそって側面を1本切り、平らに開いてみよう。すると側面は「おうぎ形」になる。半径は母線そのもので6だよ。

6. 4

   おうぎ形の中心角は弧の長さの割合で決まったね。弧は底面の円周 2π×2=4π、半径6の円ぜんぶの円周は2π×6=12π。だから 4π/12π=$\frac{1}{3}$ で、角度は360°の $\frac{1}{3}$ =120°。

7. 5

   切ったところが両はしに分かれるから、出発点 A は左右2か所に現れる。平らな紙の上の最短は直線。A と A' をまっすぐ結ぼう。

8. ③ 解答
9. 6

   頂角120°・等辺6の二等辺三角形ができたね。頂点から垂線をおろすと30-60-90の直角三角形(辺の比 1:2:$\sqrt{3}$)に割れる。斜辺6だから半分の弦は $3\sqrt{3}$、最短の弦は $6\sqrt{3}$ だよ。

10. 7

    側面の最短は、開いておうぎ形にして弦を引くだけ。中心角は底面の円周と母線で決まる、がポイント。これが円錐の最短経路の使いどころだよ。