直方体の表面の最短経路

直方体を $ABCD\text{-}EFGH$ とし、$AB = 3$、$BC = 2$、$AE = 12$ とする。

$A$ から $G$ へ表面を通る道は、$A$ をふくむ面から $G$ をふくむ面へ、どれか1本の辺をまたいで進む。またぐ辺の長さで次の3通りに分け、それぞれ2つの面を展開する。展開図で $G$ が移った点を $G'$ とし、線分 $AG'$ の長さを求める。

(ア)長さ $12$ の辺(辺 $BF$ など)をまたぐとき。前の面と右の面を開くと、縦 $12$、横 $3 + 2 = 5$ の長方形になり、$AG'$ はその対角線なので、三平方の定理より $AG'^2 = 5^2 + 12^2 = 169$

(イ)長さ $3$ の辺(辺 $EF$ など)をまたぐとき。前の面と上の面を開くと、縦 $12 + 2 = 14$、横 $3$ の長方形になり、同様に $AG'^2 = 3^2 + 14^2 = 205$

(ウ)長さ $2$ の辺(辺 $BC$ など)をまたぐとき。下の面と右の面を開くと、縦 $3 + 12 = 15$、横 $2$ の長方形になり、同様に $AG'^2 = 2^2 + 15^2 = 229$

$169 < 205 < 229$ なので、(ア)の道がいちばん短い。

展開図の上では2点を結ぶ線分が最短なので、最短経路の長さは $\sqrt{169} = 13$

答え $13$