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放物線の方程式を求める

📖 言葉で読む:放物線の定義(焦点と準線) →
ℓ: y = −2F(0, 2)P
① 考えてみよう

焦点 F(0,2)F(0, 2)、準線 ℓ\ell が y=−2y = -2 の放物線の方程式を求めよう。点を P(x,y)P(x, y) とおくよ。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    焦点 F(0,2)F(0, 2)、準線 ℓ\ell が y=−2y = -2 の放物線の方程式を求めよう。点を P(x,y)P(x, y) とおくよ。

  3. 2

    FF までの距離と ℓ\ell までの距離が等しい。これを式にすると、どんな方程式になる?

  4. ② 考え方
  5. 3

    2点間の距離は、横の差と縦の差をそれぞれ2乗して足し、ルートをとるよ。F(0,2)F(0,2) までは x2+(y−2)2\sqrt{x^2+(y-2)^2}、ℓ:y=−2\ell: y=-2 までは y+2y+2。これが等しいから、両辺を2乗すると x2+(y−2)2=(y+2)2x^2 + (y-2)^2 = (y+2)^2 だね。

  6. ③ 解答
  7. 4

    (y+2)2(y+2)^2 から (y−2)2(y-2)^2 を引くと、4y−(−4y)=8y が残るね。だから x2=8yx^2 = 8y。これが放物線の方程式だよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

放物線上の点を P(x,y)P(x, y) とし、PP から準線 ℓ\ell に下ろした垂線の足を DD とすると D(x,−2)D(x, -2) である。

放物線は、焦点までの距離と準線までの距離が等しい点の集まりなので PF=PDPF = PD

PF=x2+(y−2)2PF = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}、PD=∣y+2∣PD = |y + 2|

PFPF、PDPD は 00 以上なので、PF=PDPF = PD は両辺を2乗した PF2=PD2PF^2 = PD^2 と同じ条件である。

x2+(y−2)2=(y+2)2x^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2

x2+y2−4y+4=y2+4y+4x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4

x2=8yx^2 = 8y

逆に、x2=8yx^2 = 8y を満たす点は PF2=PD2PF^2 = PD^2 を満たし、PF=PDPF = PD となる。

答え x2=8yx^2 = 8y

減点されやすいポイント

準線までの距離は「垂線の足」までの長さなので、D(x,−2)D(x, -2) と点を決めてから ∣y+2∣|y + 2| と書こう。(y+2)2−(y−2)2=8y(y + 2)^2 - (y - 2)^2 = 8y の計算を落ち着いて進めれば公式はいらないよ。公式 x2=4pyx^2 = 4py を使うなら pp は原点から焦点までの 22 なので、44 を落として 2y2y にしたり、焦点と準線のあいだの 44 を pp にして 16y16y にしたりしないようにね。

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