反比例と長方形の面積

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   反比例 $y=4/x$ のグラフ(双曲線)だよ。曲線の上に点 $P$ をとって、$x$軸・$y$軸へまっすぐ下ろすと、原点とで長方形ができる。$P$ を動かすと、その面積はどうなると思う?

3. 2

   $P$ をいろんな場所へ動かしたら、この長方形の面積はどう変わると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず $P$ が$(1, 4)$のとき。$P$ から両方の軸へ下ろすと、原点とで 縦4・横1 の長方形ができる。面積は $1 \times 4 = 4$ だね。

6. 4

   $P$ を曲線にそって$(2, 2)$へ動かしてみよう。今度は 縦2・横2 の正方形。面積は $2 \times 2 = 4$。さっきと同じ4だ!

7. 5

   もっと動かして$(4, 1)$へ。横長になったけど、面積は $4 \times 1 = 4$。形はぜんぜん違うのに、面積はずっと4のまま。ふしぎだね。

8. 6

   なぜいつも4? $P$ を$(x, y)$とすると長方形の面積は 縦 $\times$ 横 $= x \times y$。でも $P$ は $y=4/x$ の上だから $xy=4$。この4が反比例定数 $k$ だよ。だから面積は必ず $k$ になるんだ。

9. ③ 解答
10. 7

    反比例のグラフ上の点と軸でできる長方形の面積は、いつも $k$ で一定。これを知っていれば、面積から反比例定数 $k$ が一発でわかるよ。