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反比例と長方形の面積

① 考えてみよう

反比例 $y=4/x$ のグラフ(双曲線)だよ。曲線の上に点 $P$ をとって、 $x$ 軸・ $y$ 軸へまっすぐ下ろすと、原点とで長方形ができる。 $P$ を動かすと、その面積はどうなると思う?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
反比例 $y=4/x$ のグラフ(双曲線)だよ。曲線の上に点 $P$ をとって、 $x$ 軸・ $y$ 軸へまっすぐ下ろすと、原点とで長方形ができる。 $P$ を動かすと、その面積はどうなると思う?
2
$P$ をいろんな場所へ動かしたら、この長方形の面積はどう変わると思う?
② 考え方
3
まず $P$ が $(1, 4)$ のとき。 $P$ から両方の軸へ下ろすと、原点とで縦4・横1 の長方形ができる。面積は $1 \times 4 = 4$ だね。
4
$P$ を曲線にそって $(2, 2)$ へ動かしてみよう。今度は縦2・横2 の正方形。面積は $2 \times 2 = 4$ 。さっきと同じ4だ!
5
もっと動かして $(4, 1)$ へ。横長になったけど、面積は $4 \times 1 = 4$ 。形はぜんぜん違うのに、面積はずっと4のまま。ふしぎだね。
6
なぜいつも4? $P$ を $(x, y)$ とすると長方形の面積は縦 $\times$ 横 $= x \times y$ 。でも $P$ は $y=4/x$ の上だから $xy=4$ 。この4が反比例定数 $k$ だよ。だから面積は必ず $k$ になるんだ。
③ 解答
7
反比例のグラフ上の点と軸でできる長方形の面積は、いつも $k$ で一定。これを知っていれば、面積から反比例定数 $k$ が一発でわかるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

点 $P$ の座標を $(p, q)$ とする。 $P$ は $y = \frac{4}{x}$ のグラフの $x > 0$ の部分にあるので、 $p > 0$ 、 $q > 0$ である。

$P$ は $y = \frac{4}{x}$ のグラフ上にあるので $q = \frac{4}{p}$ 、すなわち $pq = 4$ ……①

$P$ から $x$ 軸、 $y$ 軸にそれぞれ垂線をひき、垂線の足をそれぞれ $A$ 、 $B$ とし、原点を $O$ とする。四角形 $OAPB$ は長方形である。

$p > 0$ 、 $q > 0$ なので、 $OA = p$ 、 $AP = q$ である。

長方形 $OAPB$ の面積は $OA \times AP = pq$ で、①より $4$ である。

これは $P$ の位置によらないので、長方形の面積はいつも 4 である。

答えいつも 4 のまま変わらない

減点されやすいポイント

「いくつか試したら 4 だった」だけでは理由にならないので、 $P$ を $(p, q)$ とおいて $pq = 4$ を示そう。この 4 は $y = \frac{k}{x}$ の比例定数 $k$ そのもの(解説では「反比例定数」と呼んだね)なので、逆に長方形の面積がわかれば比例定数もわかるよ。 $P$ を右へ動かすと横は長くなるけれど、そのぶん縦が短くなるから、大きくも小さくもならないんだね。

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