和の公式を帰納法で示す(1段足す)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $1+2+3+\dots+n$ を一発で出す公式 $n(n+1)/2$。これがどんな $n$ でも成り立つことを、数学的帰納法=ドミノの考えで確かめたいんだ。まずは小さい段から始めるよ。

3. 2

   ドミノが全部倒れるには、うまい仕組みがいるよね。この公式が「すべての $n$ で成り立つ」と言い切るには、何を示せばいいと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず1枚目のドミノ、$n=1$ を確かめよう。左辺は $1$ だけ。右辺の公式も $1 \times 2 \div 2 = 1$。ちゃんと成り立つね。

6. 4

   $n=3$ でも見ておこう。タイルは $1+2+3=6$ 個、公式でも $3 \times 4 \div 2 = 6$ でぴったり。でも1つずつ確かめてもきりがないよね。

7. 5

   ここがドミノの一歩。「$n$ で成り立つ」と仮定して、次の $n+1$ でも成り立つかを見るんだ。やることは、階段に1段($n+1$ 個)を足すだけ。

8. 6

   4段目(4個)を足してみよう。合計は $6+4=10$。これは「前までの和」+「次の項($n+1$)」になっているのがポイントだよ。

9. 7

   この 10、公式の形になってる?$10 = 4 \times 5 \div 2$ で、$n$ を $n+1=4$ にした $(n+1)(n+2)/2$ の形だね。式でも $n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2$ とそろう。

10. ③ 解答
11. 8

    これで「$n$ で成り立てば $n+1$ でも成り立つ」が言えた。あとはドミノと同じ。$n=1$ から連鎖して、すべての $n$ で $1+\dots+n=n(n+1)/2$ が成り立つ!

12. 9

    和の公式は、図で1段足すだけで帰納法の「$n\to n+1$」が確かめられる。仮定の式に次の項を足して、同じ形に戻れば証明完了。これが使いどころだよ。