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オイラーの定理で面の数を逆算

📖 言葉で読む:オイラーの多面体定理 →
オイラーの定理で面の数を逆算全2問
① 考えてみよう

こんな立体だよ。頂点と辺は手前から数えやすいけど、面は奥にも隠れていて数えにくい。面の数 FF はいくつになるかな?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    こんな立体だよ。頂点と辺は手前から数えやすいけど、面は奥にも隠れていて数えにくい。面の数 FF はいくつになるかな?

  3. 2

    数えにくい面を、まともに数えずに出したいね。頂点 VV と辺 EE から面 FF を結ぶ関係式、何かなかったかな?それを使うと FF はいくつになる?

  4. ② 考え方
  5. 3

    まず頂点。まん中の四角に4つ、上に1つ、下に1つで V=6V = 6 だね。

  6. 4

    次に辺。まん中の四角に4本、上の頂点から4本、下の頂点から4本で E=12E = 12。

  7. ③ 解答
  8. 5

    オイラーの定理 V−E+F=2V - E + F = 2 を、面 FF について解こう。F=2−V+E=2−6+12=8F = 2 - V + E = 2 - 6 + 12 = 8。数えにくかった面は8枚だ。

  9. 6

    答えは面8枚。この立体、実は正八面体。名前のとおり上に4枚・下に4枚の三角形でちょうど8だね。数えにくい面も、逆算なら確実だ。

  10. 7

    面の形と枚数がわかる立体なら、辺 EE =(1面の辺数 ×\times 枚数)÷\div 2 から頂点まで芋づる式。例: 正十二面体は正五角形12枚→E=30E = 30、V=20V = 20。これがオイラーの使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

この多面体の頂点の数を VV、辺の数を EE、面の数を FF とする。

頂点は、まん中の四角形の4つと、上と下に1つずつあるので V=4+1+1=6V = 4 + 1 + 1 = 6

辺は、まん中の四角形の4本と、上の頂点から出る4本、下の頂点から出る4本なので E=4+4+4=12E = 4 + 4 + 4 = 12

オイラーの多面体定理より V−E+F=2V - E + F = 2 なので

6−12+F=26 - 12 + F = 2

F=8F = 8

答え 面の数は 88

減点されやすいポイント

頂点と辺を「どう数えたか」(まん中の4つと上下1つずつ、など)を書いておくと、数えまちがいがないことを採点者にも示せるよ。F=2+V−EF = 2 + V - E と移項の符号をまちがえると −4-4 になるので、負の数が出たら式を見直そう。手前の面だけ数えて 44 にしないためにも、数えにくいものは定理で逆算するのが確実だね。

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