整数解の一般形を作る

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $2x+3y=13$ の整数解は、実はたくさんあるよ。この式は座標の上では1本の直線で、整数解はその上の格子点なんだ。

3. 2

   解を1組見つけたら、残りの整数解はどんなふうに並ぶだろう? 整数 $t$ を使って、まとめて1つの式で書けるかな?

4. ② 考え方
5. 3

   まず1組さがすと $(2,3)$。$2\times2+3\times3=4+9=13$ でちゃんと合ってるね。これを基準 $(x_0, y_0)$ にしよう。

6. 4

   となりの解へは、$x$ を3ふやして $y$ を2へらす。$(5,1)$ になった。この $(+3, -2)$ は、式の係数 3 と 2 から作った歩はばだよ。

7. 5

   反対むきに $x$ を3へらし $y$ を2ふやすと $(-1,5)$。同じ直線の上を、同じ歩はばで両むきにずっと続いていくんだ。

8. 6

   まとめると、整数 $t$ を使って $x=2+3t$、$y=3-2t$。$t=0,1,-1$… と入れると、さっきの解が順に出てくるよ。これが解の一般形だね。

9. ③ 解答
10. 7

    だから一般形は $(x, y) = (2+3t,\ 3-2t)$。進む向き $(+3, -2)$ は直線に平行だから、基準解1つを直線にそって平行移動するだけで整数解を全部表せる。これが一般形の使いどころだよ。