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の整数解は、実はたくさんあるよ。この式は座標の上では1本の直線で、整数解はその上の格子点なんだ。
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の整数解は、実はたくさんあるよ。この式は座標の上では1本の直線で、整数解はその上の格子点なんだ。
解を1組見つけたら、残りの整数解はどんなふうに並ぶだろう? 整数 を使って、まとめて1つの式で書けるかな?
まず1組さがすと 。 でちゃんと合ってるね。これを基準 にしよう。
となりの解へは、 を3ふやして を2へらす。 になった。この は、式の係数 3 と 2 から作った歩はばだよ。
反対むきに を3へらし を2ふやすと 。同じ直線の上を、同じ歩はばで両むきにずっと続いていくんだ。
まとめると、整数 を使って 、。… と入れると、さっきの解が順に出てくるよ。これが解の一般形だね。
だから一般形は 。進む向き は直線に平行だから、基準解1つを直線にそって平行移動するだけで整数解を全部表せる。これが一般形の使いどころだよ。
解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。
なので、、 は の整数解の1つである。
から を引くと
すなわち ……①
と は互いに素なので、①より は の倍数である。
を整数として とおくと、①より なので
よって 、
逆に、この 、 は を満たす。
答え ( は整数)
減点されやすいポイント
「 と は互いに素なので は の倍数」が一般形を作る根拠だから、ここは省かずに書こう。最後の「 は整数」も忘れやすいので気をつけてね。 のように係数の と を入れかえずに使うと、代入して になり、 以外では式を満たさないよ。 は、基準の解 の と を取りちがえたもので、どの を入れても になり、 にならないね。