増減・凹凸・変曲点でグラフを描く

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   曲線 $y=x^3-3x$ だよ。前は微分($f'$)で山(極大)と谷(極小)を見つけたね。今度は「グラフの曲がり方」に注目したいんだ。

3. 2

   左半分は上にふくらみ($\cap$)、右半分は下にふくらむ($\cup$)。この曲がり方が切りかわる点は、グラフのどこにあると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず復習。$f'(x)=3x^2-3$ が 0 になる $x=\pm1$ が折り返し。山$(-1, 2)$と谷$(1, -2)$の極値だね。でも「曲がり方」は、これとは別の見方なんだ。

6. 4

   曲がり方は「もう1回微分」でわかる。$f''(x)=6x$ だね。$x<0$ では $f''<0$ で上に凸($\cap$)、$x>0$ では $f''>0$ で下に凸($\cup$)。符号がちょうど入れかわるのが $x=0$ だよ。

7. 5

   $f''$ が 0 で符号も変わる点$(0, 0)$が「変曲点」。証拠に、そこで引いた接線(傾き $-3$)は曲線を貫くよ。左では曲線が接線の下($\cap$)、右では上($\cup$)。曲がり方の反転が目で見えるね。

8. ③ 解答
9. 6

   だから増減表に凹凸も書き足せる。増える/減る($f'$ の符号)と、上に凸/下に凸($f''$ の符号)の組み合わせで、グラフの形がすっかり決まるんだ。変曲点$(0, 0)$が曲がり方の境目。

10. 7

    $f'$ で増減、$f''$ で凹凸、$f''=0$ の符号変化で変曲点。この3つでなめらかな曲線も正確に描ける。1回微分の先=2回微分で曲がり方まで読む、これが使いどころだよ。