⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

← マップ

立方体の断面の面積を求める

立方体の断面の面積を求める全2問
ABCF6
① 考えてみよう

1辺6の立方体。頂点 BB に集まる3辺の、となりの頂点 AA・CC・FF を通る平面でスパッと切るよ。断面はどんな形で、面積はいくつになるかな?

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    1辺6の立方体。頂点 BB に集まる3辺の、となりの頂点 AA・CC・FF を通る平面でスパッと切るよ。断面はどんな形で、面積はいくつになるかな?

  3. 2

    AA・CC・FF はそれぞれ立方体のどんな線で結ばれてる?3つの辺の長さをくらべると、何か気づくかもしれないよ。

  4. ② 考え方
  5. 3

    切り口は AA・CC・FF を結ぶ三角形。3辺 ACAC・CFCF・FAFA は、どれも立方体の「面の正方形」の対角線だね。

  6. 4

    面の対角線は、1辺6の正方形の対角線だから 626\sqrt{2}。3辺ともこの長さ。つまり断面は正三角形なんだ!

  7. ③ 解答
  8. 5

    正三角形の面積は (3/4)×(\sqrt{3}/4)\times(1辺)2^2。これに1辺 626\sqrt{2} を入れると、(3/4)×(62)2=(3/4)×72=183(\sqrt{3}/4)\times(6\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}/4)\times72 = 18\sqrt{3} だよ。

  9. 6

    断面は「どの頂点を通るか」で形が決まる。形さえ見ぬければ、面積は平面の公式でスッと出る。これが切断の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

面 ABCDABCD は1辺 66 の正方形なので、△ABC\triangle ABC は ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ の直角二等辺三角形である。三平方の定理より

AC2=62+62=72AC^2 = 6^2 + 6^2 = 72

AC>0AC > 0 より AC=62AC = 6\sqrt{2}

面 BCGFBCGF、面 ABFEABFE も1辺 66 の正方形なので、同様に CF=FA=62CF = FA = 6\sqrt{2}

よって AC=CF=FAAC = CF = FA なので、断面 △ACF\triangle ACF は1辺 626\sqrt{2} の正三角形である。

辺 CFCF の中点を MM とする。正三角形なので AM⊥CFAM \perp CF、FM=32FM = 3\sqrt{2}

△AFM\triangle AFM は ∠AMF=90∘\angle AMF = 90^\circ の直角三角形なので、三平方の定理より

AM2=AF2−FM2=72−18=54AM^2 = AF^2 - FM^2 = 72 - 18 = 54

AM>0AM > 0 より AM=36AM = 3\sqrt{6}

△ACF=12×CF×AM=12×62×36=912=183\triangle ACF = \frac{1}{2} \times CF \times AM = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 3\sqrt{6} = 9\sqrt{12} = 18\sqrt{3}

答え 18318\sqrt{3}

減点されやすいポイント

まず3辺がどれも面の対角線で等しいことを書いて、「正三角形」と言い切ってから面積に進もう。1辺を立方体の辺の 66 のまま計算すると 939\sqrt{3}、断面を直角三角形とみて 12×62×62\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} とすると 3636 になるのが定番のまちがいだよ。34×(1辺)2\frac{\sqrt{3}}{4} \times (1\text{辺})^2 の公式(③で使った形)で、34×72=183\frac{\sqrt{3}}{4} \times 72 = 18\sqrt{3} と書いてもいいね。

友だちに教えるLINEで送るXに投稿

関連するコンテンツ

もとになる考え方(レッスン)

関連する使いどころ