円錐の展開図の中心角・側面積

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   母線5・底面の半径2の円錐だよ。側面(まわりの曲がった面)を切り開くと、おうぎ形になる。その中心角は何度になって、側面積はいくつになると思う?

3. 2

   ポイントは「切り開いたおうぎ形の弧の長さ」。これ、もとの円錐のどの部分の長さと、ぴったり同じになるはずだよね?中心角の予想もしてみて。

4. ② 考え方
5. 3

   母線にそって側面を開くと、半径が母線5のおうぎ形になるよ。そして弧の部分は、もとは底面の円のふちだったところ。だから弧の長さ=底面の円周=$2\pi \times 2 = 4\pi$ だね。

6. 4

   おうぎ形の弧は、半径5の円のふち(全円周 $2\pi\times5=10\pi$)の一部。「弧 ÷ 全円周 = 中心角 ÷ 360」だから、$\frac{4\pi}{10\pi}=\frac{2}{5}$、つまり中心角は360°の $\frac{2}{5}$ だよ。

   $$\frac{\text{中心角}}{360^\circ} = \frac{\text{弧}}{\text{全円周}} = \frac{4\pi}{10\pi} = \frac{2}{5}$$
7. ③ 解答
8. 5

   中心角 = $360 \times \frac{2}{5} = 144^\circ$。側面積はこのおうぎ形の面積だから、$\pi\times5^2\times\frac{144}{360}=10\pi$ だよ。

9. 6

   見つけるコツ: 中心角 = 360 × (半径 ÷ 母線)、側面積 = π × 半径 × 母線。展開図の弧=底面の円周、と気づくのが出発点だよ。