複素数の絶対値と偏角｜|z−i|=|z−1| の軌跡

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① 考えてみよう
1
$|z-i|$ は点 $i$ からの距離、 $|z-1|$ は点 $1$ からの距離。この2つが等しい $z$ をさがすよ。
2
$i$ と $1$ から等距離の $z$ は1つじゃない。全部あつめるとどんな形になると思う?
② 考え方
3
今の $z$ は $i$ からの距離も $1$ からの距離も同じ。同じ色 = 等しい長さ、だね。
③ 解答
4
2点から等距離な点の集まり。それは線分を真ん中で直角に切る線=垂直二等分線(中学で習ったね)だよ!
5
ちなみに $|z-\alpha| = r$ ( $\alpha$ からの距離が一定)なら、軌跡は $\alpha$ が中心の円になるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

複素数平面上で、点 $i$ を $A$ 、点 $1$ を $B$ 、点 $z$ を $P$ とする。

$|z - \alpha|$ は2点 $z$ 、 $\alpha$ の距離なので、 $|z - i|$ は $P$ と $A$ の距離、 $|z - 1|$ は $P$ と $B$ の距離なので、条件は $PA = PB$ である。

2点 $A$ 、 $B$ から等しい距離にある点の集まりは、線分 $AB$ の垂直二等分線である。

(確かめ) $z = x + yi$ ( $x$ 、 $y$ は実数)とすると、 $|z - i|^2 = x^2 + (y - 1)^2$ 、 $|z - 1|^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$|z - i| \geqq 0$ 、 $|z - 1| \geqq 0$ なので、条件は2乗しても同じで $x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$ 。整理すると $-2y + 1 = -2x + 1$ より $y = x$

答え点 $i$ と点 $1$ を結ぶ線分の垂直二等分線(直線 $y = x$ )

減点されやすいポイント

最初に「 $|z - \alpha|$ は点 $\alpha$ からの距離」と言いかえると、中学で習った垂直二等分線につながるよ。絶対値の式を見て円と答えがちだけど、円になるのは $|z - \alpha| = r$ のように距離が一定のときだね。この問題は $2 + 2i$ のような遠くの点も $|2 + i| = |1 + 2i| = \sqrt{5}$ で条件を満たすから、どこまでも続く直線になるんだ。放物線は「点と直線」から等距離のときで、ここは「点と点」だよ。

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