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平方完成で最小値を求める

① 考えてみよう

$y = x^2-4x+1$ の最小値を求めよう。グラフの一番下(頂点)がわかればいいね。平方完成で、その頂点を出すよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
$y = x^2-4x+1$ の最小値を求めよう。グラフの一番下(頂点)がわかればいいね。平方完成で、その頂点を出すよ。
2
グラフの一番下=頂点の $y$ が最小値だね。平方完成で、その頂点を出せるかな?
② 考え方
3
まず $x^2-4x$ の部分を平方完成。 $-4$ の半分は $-2$ 、その2乗は 4。 $x^2-4x = (x-2)^2 - 4$ だね(足した4は引く)。
4
全体だと $y = (x-2)^2 - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$ 。 $(x-2)^2$ は0以上だから、いちばん小さくなるのは0のときだ。
③ 解答
5
$(x-2)^2 = 0$ 、つまり $x=2$ のとき最小。そのとき $y = -3$ 。頂点は $(2, -3)$ だよ。
6
頂点がグラフの一番下とぴったり一致!平方完成は『頂点と最大・最小を見つける道具』。これが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$y = x^2 - 4x + 1$

$\phantom{y} = (x - 2)^2 - 4 + 1$

$\phantom{y} = (x - 2)^2 - 3$

$(x - 2)^2 \ge 0$ なので、 $y$ は $(x - 2)^2 = 0$ すなわち $x = 2$ のとき最小になる。

答え $x = 2$ のとき最小値 $-3$

減点されやすいポイント

最小値だけでなく、そのときの $x$ の値(ここでは $x = 2$ )も書くのが答案の基本だよ。平方完成で「足した $4$ を引く」のを忘れると定数項がずれるので、等号で1行ずつつないで書こう。

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