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直角三角形の外接円の半径

📖 言葉で読む:三角形の外心(外接円の中心) →
CBA51213
① 考えてみよう

脚5・12、斜辺13の直角三角形。3つの頂点すべてを通る円(外接円)の半径を求めよう。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    脚5・12、斜辺13の直角三角形。3つの頂点すべてを通る円(外接円)の半径を求めよう。

  3. 2

    外心は垂直二等分線3本の交点……でも直角三角形なら、もっと速い近道がありそう。直角と斜辺に注目してみて。

  4. ② 考え方
  5. 3

    外心は3辺の垂直二等分線の交点だったね。でも直角三角形には、3本引かなくていい近道があるんだ。

  6. 4

    直角の三角形では、外心はちょうど斜辺ABのまん中Mに来る。まずMを取ってみよう。

  7. 5

    MはA・B・Cから等距離。MA=MB は斜辺の半分。直角の頂点Cも、斜辺ABを直径とする円の円周上にのるから、MC も同じ長さ(同じ色=等しい)。

  8. ③ 解答
  9. 6

    だからMを中心にAを通る円を描くと、BもCも通る!半径は斜辺13の半分=6.5。中心を計算せず一瞬で出せた。

  10. 7

    直角三角形では『斜辺の中点が外心、半径は 斜辺 ÷ 2』。覚えておくと外接円の問題が速くなるよ。これが外心の使いどころだね。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

△ABC\triangle ABC は ∠C=90∘\angle C = 90^\circ の直角三角形で、斜辺は AB=13AB = 13 である。

斜辺 ABAB の中点を MM とする。MM は ABAB の中点なので MA=MB=132MA = MB = \frac{13}{2} ……①

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ なので、円周角の定理の逆(線分を見込む角が直角ならば、その点はその線分を直径とする円の周上にある)より、点 CC は ABAB を直径とする円の周上にある。

この円の中心は直径 ABAB の中点 MM で、半径は MAMA なので MC=MAMC = MA ……②

①、②より MA=MB=MCMA = MB = MC なので、MM は △ABC\triangle ABC の外心で、外接円は ABAB を直径とする円である。

よって外接円の半径は AB2=132=6.5\frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5

答え 6.56.5

減点されやすいポイント

「直角だから、斜辺を直径とする円の周上にある」を、円周角の定理の逆として根拠つきで書こう。これで MC=MAMC = MA が言えて、MM が外心だと分かるんだ。斜辺 1313 をそのまま半径にしてしまうと、それは直径だね。長い脚 1212 の半分の 66 を答えるのもまちがいで、半分にするのは斜辺だよ。

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