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2組の比から3組目を逆算する

📖 言葉で読む:チェバの定理 →

2組の比から3組目を逆算する全2問

2組の比から3組目を逆算する
チェバとメネラウスの合わせ技

① 考えてみよう

3本の線が1点 $P$ に集まってるよ。辺の分け方は $BD:DC = 2:1$ 、 $CE:EA = 3:2$ 。残る $AF:FB$ を求めてみよう。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
3本の線が1点 $P$ に集まってるよ。辺の分け方は $BD:DC = 2:1$ 、 $CE:EA = 3:2$ 。残る $AF:FB$ を求めてみよう。
2
3本が1点 $P$ に集まってる、この形が効くんだ。3つの辺の比をぐるっと一周して掛け合わせると、何かうまいことが起きそうじゃない?
② 考え方
3
3本が1点に集まる図 → チェバの定理。一周する向きで3つの比を掛けると、必ず 1 になるよ。
$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1$
③ 解答
4
数を入れてみよう: $(2/1) \times (3/2) \times (AF/FB) = 1$ 。左の2つを掛けると 3 だから、 $3 \times(AF/FB)= 1$ 。よって $AF:FB = 1:3$ !
5
コツ: 1点に集まる3本(チェバ)では、2組の比がわかれば3組目は「積 = 1」から逆算できるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$\triangle ABC$ の3本の線分 $AD$ 、 $BE$ 、 $CF$ は1点 $P$ で交わるので、チェバの定理より

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

仮定より $BD : DC = 2 : 1$ 、 $CE : EA = 3 : 2$ なので $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$3 \cdot \frac{AF}{FB} = 1$ より $\frac{AF}{FB} = \frac{1}{3}$

答え $AF : FB = 1 : 3$

減点されやすいポイント

チェバの定理は、頂点と辺上の点を $B \to D \to C \to E \to A \to F \to B$ と一周する順に分数を並べるのがポイント。答案では「3本が1点で交わるので」と、定理を使える理由を先に書こう。最後に $3$ の逆数を取り忘れて $3 : 1$ と書くのが定番のまちがいだよ。

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