アポロニウスの円｜PA:PB が一定の点の軌跡

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① 考えてみよう
1
2点 $A$ 、 $B$ があるね。 $A$ からの距離が $B$ の2倍になる点 $P$ を考えるよ。
2
$PA:PB=2:1$ を保って $P$ を動かすと、通り道はどんな形になると思う?
② 考え方
3
今の $P$ は $PA$ が $PB$ のちょうど2倍。習ったとおり、 $AB$ を $2:1$ に分ける内分点と外分点が直径の両端になるはず。動かすとどうなる?
③ 解答
4
条件を保ったまま動かすと…ほら、 $P$ の通り道は円になった!
5
これがアポロニウスの円。比が $2:1$ など $1:1$ でない点は円をえがくよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

軌跡の形は座標のとり方によらないので、 $AB = 3a$ ( $a > 0$ )とし、 $A(0, 0)$ 、 $B(3a, 0)$ となるように座標をとる。点 $P(x, y)$ とおく。

$PA : PB = 2 : 1$ より $PA = 2PB$ 。両辺は $0$ 以上なので、2乗した $PA^2 = 4PB^2$ と同じ条件である。

$x^2 + y^2 = 4\{(x - 3a)^2 + y^2\}$

$3x^2 - 24ax + 3y^2 + 36a^2 = 0$

$x^2 - 8ax + y^2 + 12a^2 = 0$

$(x - 4a)^2 + y^2 = 4a^2$

よって点 $P$ は、中心 $(4a, 0)$ 、半径 $2a$ の円上にある。

逆に、この円上のどの点も $PA^2 = 4PB^2$ を満たし、 $PA = 2PB$ となる。

(確かめ)この円と直線 $AB$ の交点 $(2a, 0)$ 、 $(6a, 0)$ は、線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点と外分する点である。

答え円(線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円)

減点されやすいポイント

図には座標がないので、答案では最初に「 $A$ を原点、 $B$ を $x$ 軸上に」と座標を自分で決めよう。比が $1 : 1$ のときの垂直二等分線とまぜないように気をつけてね。 $PA = PB$ なら $x^2 = (x - 3a)^2$ から $x = \frac{3}{2}a$ の直線になるけれど、 $2 : 1$ だと $x^2$ と $y^2$ の項が残って円になるよ。「逆に、円上の点は条件を満たす」の一言も忘れずに。

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