相加相乗で x + 4/x の最小値

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $x > 0$ のとき、$x + 4/x$ はいちばん小さくていくつになるかな?手がかりに、たて $4/x$・横 $x$ の長方形を作るよ。いまは横4・たて1だね。

3. 2

   $x$ を変えると長方形の形は変わるけど、じつは変わらない量がひとつあって、それが最小値を見ぬくカギになるんだ。最小値はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   この長方形の面積は $x \times (4/x) = 4$。$x$ をどう変えても 4 のまま一定なんだ。掛け算だと $x$ が消えてくれる、これがカギだよ。

6. 4

   面積が一定なら、同じ面積の正方形(緑)の一辺も一定。一辺は $\sqrt{4} = 2$。これが相乗平均 $\sqrt{x \cdot 4/x}$ で、ずっと 2 から動かないよ。

7. 5

   知りたい和 $x + 4/x$ は、相加平均 $(x+4/x)/2$ の2倍。長方形は役目を終えたので消して、一辺 $(x+4/x)/2$ の正方形(赤)を作ると…緑よりはみ出してるね。

8. 6

   本編でやったね、相加平均 $\ge$ 相乗平均。だから $(x+4/x)/2 \ge 2$、つまり $x + 4/x \ge 4$。和は 4 より小さくはなれないんだ。

9. 7

   いちばん小さくなるのは、赤と緑がぴったり重なる=等号のとき。それは $x = 4/x$、つまり $x^2=4$ で $x=2$。動かしてみよう。

10. ③ 解答
11. 8

    $x=2$ で赤=緑にそろった!このとき $x + 4/x = 2 + 2 = 4$。だから最小値は 4 だよ。和の表示も 4 になってるね。

12. 9

    積が一定の和は、相加相乗で最小をねらえる。最小値は「積の平方根の2倍」、等号は2つが等しい($x=4/x$)とき。これが使いどころだよ。